มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมเลขคณิตเหมาะกับข้อมูลที่อยู่ในรูปของอนุกรมที่เปลี่ยนแปลงไปในอัตราที่กำหนด ตัวอย่างเลขอนุกรมเช่น 1, 8, 27 เป็นต้น

ถ้า X₁, X₂, X₃, ... , X_N เป็นตัวเลขชุดหนึ่งที่มี N จำนวนแล้ว สูตรในการคำนวณหามัชฌิมเรขาคณิตของข้อมูลชุดนี้คือ

ดังนั้นอนุกรม 1, 8, 27 สามารถคำนวณหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตได้ดังนี้

 

มัชฌิมเลขคณิต (ซึ่งแตกต่างจากมัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก) ในบางบริบทมีการใช้คำว่า ค่าเฉลี่ย แทนความหมายของมัชฌิมเลขคณิต แต่ค่าเฉลี่ยนั้นมีหลายประเภทที่แตกต่างกัน อาทิ มัฌชิม มัธยฐาน ฐานนิยม ตัวอย่างเช่น ราคาเฉลี่ยของบ้านและอาคาร จะใช้มัธยฐานเป็นค่าเฉลี่ยเสมอ

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม บางครั้งก็เรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่มีค่าอยู่จริง มัชฌิมคือการคาดหมายค่าของ X แต่การแจกแจงความน่าจะเป็นบางอย่างไม่มีการนิยามมัชฌิม (หรือความแปรปรวน) ดูกรณีตัวอย่างในการแจกแจงโคชี (Cauchy distribution)

สำหรับชุดข้อมูลหนึ่งๆ มัชฌิมคือผลบวกของสิ่งที่สังเกตการณ์ หารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกตการณ์ มัชฌิมดังกล่าวมักจะมาคู่กันกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมัชฌิมใช้อธิบายตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้อธิบายความกระจัดกระจายของข้อมูล

   

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.watpon.com/Elearning/stat13.htm

                                                   และ  :  wikipedia

ฐานนิยม (Mode)

 การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

 หลักการคิด     
 -  ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด  มีการซ้ำกันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)  ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
  หมายเหตุ      
  -   ฐานอาจจะไม่มี  หรือ  มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้        

         การหาฐานนิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
  การประมาณอย่างคร่าวๆ

  

       ฐานนิยม    คือ    จุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด

             ตัวอย่าง    จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้  จงหาฐานนิยมโดยประมาณอย่างคร่าวๆ

คะแนน	ความถี่
20-29 30-39 40-49 50-59 60-69	2 10 15 13 5

อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด  คือ  40-49

                                               จุดกลางชั้น  คือ     

ดังนั้น  ฐานนิยมโดยประมาณ  คือ  44.5

       คุณสมบัติที่สำคัญของฐานนิยม

กล่าวคือ  ถ้านำค่าคงตัวไปบวก  หรือคูณกับค่าจากการสังเกตทุกตัวในข้อมูลชุดหนึ่ง  ฐานนิยมของข้อมูลชุดใหม่นี้  จะเท่ากับ  ฐานนิยมของข้อมูลชุดเดิม  บวกหรือคูณกับค่าคงตัวดังกล่าว  ตามลำดับ  (อย่าลืม !  ถ้าเป็นการคูณ  ค่าคงตัวที่นำไปคูณไม่เท่ากับศูนย์)คุณสมบัติข้อที่  3  และ  4  ก็เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต  และมัธยฐาน  1.   ฐานนิยมสามารถหาได้จากเส้นโค้งของความถี่  และฮิสโทแกรม2.   ในข้อมูลแต่ละชุด  อาจจะมีฐานนิยมหรือไม่มีก็ได้  ถ้ามี  อาจจะมีเพียงค่าเดียว  หรือหลายค่าก็ได้
3.   ให้   X₁,   X₂,   X₃,  …..,  X_N   เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ  Mo
      ถ้า  k  เป็นค่าคงตัว  จะได้ว่า    X₁+k,   X₂+k,   X₃+k,  ….,  X_N+k    เป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ   Mo + k
4.  ให้   X₁,   X₂,   X₃,  ….,   X_N   เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ   Mo
      ถ้า   k   เป็นค่าคงตัว  ซึ่ง  k   =/=  0   จะได้ว่า   kX₁,   kX₂,   kX₃,  …,  kX_N  จะเป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ   kMo

ขอขอบคุณข้อมูล : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/sec04p04.html

มัธยฐาน (Median)

              ใช้สัญลักษณ์  Med  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด  เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

              การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
      หลักการคิด  1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
   2) ตำแหน่งมัธยฐาน  คือ  ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล  ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =

       เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
   3) มัธยฐาน  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด
กำหนดให้ค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดหนึ่ง  มีดังนี้
                      5,  9,  16,  15,  2,  6,  1,  4,  3,  4, 12,  20,  14,  10,  9,  8,  6,  4,  5,  13
                      จงหามัธยฐาน
   วิธีทำ       เรียงข้อมูล   1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20  ตำแหน่งมัธยฐาน         =   
                                    =    
                                    =    10.5
      ค่ามัธยฐาน              =     =     7

 การหามัธยฐานของข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น

  ขั้นตอนในการหามัธยฐานมีดังนี้
  (1)   สร้างตารางความถี่สะสม
  (2)หาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ
       เมื่อ N เป็นจำนวนของข้อมูลทั้งหมด
  (3)  ถ้า  เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นนั้นเป็นชั้น      มัธยฐาน และมีมัธยฐานเท่ากับขอบบน
       ของอันตรภาคชั้นนั้น    ถ้า ไม่เท่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดเลย อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า  
       เป็นชั้นของมัธยฐาน และหามัธยฐานได้จากการเทียบบัญญัติไตรยางค์ หรือใช้สูตรดังนี้
       จากข้อมูลทั้งหมด N จำนวน  ตำแหน่งของมัธยฐานอยู่ที่
        Med    =
         เมื่อ         L        คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

   คือ ผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

      f_M       คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

         I       คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

       N       คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

         ตารางที่มีชั้นแบบเปิด  จะหา    ไม่ได้  แต่หามัธยฐานและฐานนิยมได้   ถ้าตำแหน่ง
เท่ากับความถี่สะสม (หรือเป็นตัวสุดท้ายของชั้น)  ให้ตอบขอบบนของชั้นนั้น

ขอขอบคุณข้อมูลจาก
http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/sec03p03.html

Trimmed Means

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางโดยใช้มัชฌิมเลขคณิตอาจจะมีความคลาดเคลื่อนไปถ้าหากข้อมูลมีค่าที่ผิดปกติไปจากกลุ่มหรือที่เรียกว่า Extreme Value ดังนั้นหากข้อมูลมีค่าผิดปกติแล้ว การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางที่เหมาะสมจะกลายเป็นค่ามัธยฐาน (Median) นักสถิติจึงได้แก้ไขปัญหานี้โดยคิดวิธีใหม่ขึ้นมาเรียกว่า Trimmed Means

Trimmed Means สามารถคำนวณได้โดยการเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วลบข้อมูลที่น้อยที่สุดและมากที่สุดออก จากนั้นคำนวณหามัชฌิมเลขคณิต จำนวนของข้อมูลที่จะถูกลบออกนั้นจะมีประมาณ 5% จนถึง 25% ของข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างปริมาณการเก็บเกี่ยวพืชผลทางการเกษตร จำนวน 10 เดือน ได้ปริมาณการเก็บเกี่ยวดังนี้ 6.5, 12.0, 14.9, 10.0, 10.7, 7.9, 21.9, 12.5, 14.5, 9.2

การจะคำนวณหา Trimmed Means อันดับแรกต้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อน ได้ดังนี้ 6.5, 7.9, 9.2, 10.0, 10.7, 12.0, 12.5, 14.5, 14.9, 21.9

ต่อไปจะลบข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดและมากที่สุดออกอย่างละ 20% ข้อมูลมี 10 ค่า 20% ก็คือ 2 ค่า ลบข้อมูลน้อยที่สุดออก 2 ค่าคือ 6.5 และ 7.9 ลบข้อมูลมากที่สุดออก 2 ค่า คือ 14.9 และ 21.9 จะเหลือข้อมูลเพียง 6 ค่าคือ 9.2, 10.0, 10.7, 12.0, 12.5, 14.5

จากนั้นคำนวณหามัชฌิมเลขคณิตได้ 20% trimmed mean = (9.2 + 10.0 + 10.7 + 12.0 + 12.5 + 14.5)/6 = 11.48

การตัดสินว่าจะลบข้อมูลออกกี่เปอร์เซ็นต์นั้น ขึ้นอยู่กับค่าที่ผิดปกติไปจากกลุ่ม (extreme value) ที่ปรากฏว่ามีจำนวนมากเพียงใด

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. เมษายน ๒๕๔๔

http://www.watpon.com/Elearning/stat11.htm

มัชฌิมเลขคณิต ( Arithmetic Mean )

              

หมายถึง ผลรวมของข้อมูลที่ได้จากการวัดหารด้วยจำนวนข้อมูลที่ได้จากการวัด สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัดคือ 7, 13, 22, 9, 11, 4 ผลรวมของข้อมูลชุดนี้คือ 66 ค่าเฉลี่ยจึงมีค่าเท่ากับ 66 หาร 6 เท่ากับ 11

ในกรณีทั่วไป ถ้าข้อมูลที่ได้จากการวัด N จำนวนถูกนำเสนอโดยใช้สัญลักษณ์ X₁, X₂, ..., X_N และการหาค่าเฉลี่ยสามารถเขียนได้เป็นสูตรดังนี้

สัญลักษณ์ อ่านว่า เอ็กซ์บาร์ ใช้แทนค่าเฉลี่ยของข้อมูล อักษรกรีซ อ่านว่า ซิกม่า, แทนผลรวมของข้อมูลที่ได้จากการวัด N จำนวน ผลรวมจาก i = 1 ถึง i = N รูปแบบง่าย ๆ ของค่าเฉลี่ยสามารถเขียนได้ดังนี้

การคำนวณค่าเฉลี่ยจากการแจกแจงความถี่

สมมติค่าของ X ในแต่ละค่ามีค่าซ้ำกัน สามารถหาค่าเฉลี่ยได้โดยการแจกแจงความถี่ จากนั้น คูณค่า X แต่ละค่ากับความถี่ แล้วนำมาบวกกันและหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัดคือ 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18 โอกาสในการเกิด 11 มี 2 ครั้ง โอกาสในการเกิด 12 มี 3 ครั้ง ฯ จากข้อมูลสามารถนำมาเขียนเป็นตารางได้ดังนี้

ตาราง 4 ตารางแจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

ในการทำงานทางสถิติบางครั้งจำเป็นต้องใช้ค่าความแตกต่างระหว่างคะแนน Xi กับค่าเฉลี่ยความแตกต่างที่เกิดขึ้นถูกเรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย ดังนี้

ใชัสัญลักษณ์ x_i แทนส่วนเบี่ยงเบน

คะแนนที่ได้แทนด้วย X บางครั้งเรียกว่าคะแนนดิบ คะแนนที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยถูกแทนด้วย x เรียกว่าคะแนนเบี่ยงเบน คะแนนดิบที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย จะมีคะแนนเบี่ยงเบนเป็น 0

ในกรณีข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน เช่นคะแนนที่เด็กชายฉัตรชัยได้รับจากการสอบด้วยแบบทดสอบ 4 ฉบับซึ่งมีความสำคัญไม่เท่ากัน ปรากฏดังตาราง

ตาราง 6 คะแนนแบบทดสอบ 4 ฉบับของเด็กชายฉัตรชัย

 

จะเห็นว่าแบบทดสอบแต่ละฉบับมีน้ำหนักความสำคัญไม่เท่ากัน ในสูตร นั้นใช้สำหรับข้อมูลที่แต่ละค่ามีความสำคัญเท่ากัน แต่ในที่นี้ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากันจึงประยุกต์สูตรมาเป็นสูตร

การคำนวณหาคะแนนเฉลี่ยของเด็กชายฉัตรชัยได้ดังนี้

คะแนนเฉลี่ยของเด็กชายฉัตรชัยคือ 79.49

จากตารางแสดงราคาของก๊าซโซลีน

ตาราง 7 ราคาของก๊าซโซลีน 

ราคาเฉลี่ยต่อแกลอนของก๊าซโซลีนเป็นเท่าใด วิธีการคำนวณแสดงได้ดังนี้

ราคาของก๊าซโซลีนเฉลี่ยต่อแกลอนคือ 1.48

คุณสมบัติบางประการของมัชฌิมเลขคณิต

มัชฌิมเลขคณิตมีคุณสมบัติบางประการดังนี้

ประการแรก คุณสมบัติพื้นฐานก็คือ ผลบวกของความเบี่ยงเบนของคะแนนดิบกับคะแนนเฉลี่ยมีค่าเป็น 0

ค่ามัชฌิมเลขคณิตของคะแนน 7, 13, 22, 9, 11 และ 4 คือ 11 ส่วนเบี่ยงเบนจากคะแนนเฉลี่ยคือ -4, 2, 11, -2, 0 และ -7 ผลบวกของคะแนนเบี่ยงเบนคือ 0 ผลทั้งหมดเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้

ประการสอง ผลรวมของกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบนจะมีค่าน้อยที่สุด

ความเบี่ยงเบนของค่าที่ได้จากการวัด 7, 13, 22, 9, 11, 4 กับค่าเฉลี่ย 11 คือ -4, 2, 11, -2, 0, -7 ค่ากำลังสองของความเบี่ยงเบนจะได้ 16, 4, 121, 4, 0, 49 ผลบวกของกำลังสองเท่ากับ 197 ถ้าหากเราใช้ค่าเฉลี่ยตัวอื่น ๆ ผลบวกของกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าการวัดกับค่ากึ่งกลางใด ๆ จะได้ค่าสูงกว่าผลรวมของกำลังสองความเบี่ยงเบนของค่าการวัดกับมัชฌิมเลขคณิต สมมติให้ค่ากึ่งกลางของข้อมูลชุดนี้เป็น 13 ความเบี่ยงเบนจะได้ -6, 0, 9, 4, 2, -9 ยกกำลังสองได้ 36, 0, 81, 16, 4, 81 รวมผลทั้งหมดเท่ากับ 218 ซึ่งมากกว่าค่าที่ได้จากการใช้ค่าเฉลี่ย

ข้อดีข้อเสียของมัชฌิมเลขคณิต

ข้อดี

1. คำนวณได้ง่าย

2. ข้อมูลทุกตัวถูกนำมาใช้ในการคำนวณ

3. สามารถนำค่าเฉลี่ยที่ได้มาใช้ในการคำนวณอื่น ๆ

ข้อเสีย

1. เพราะข้อมูลทุกค่าถูกนำมาใช้ในการคำนวณ ถ้ามีข้อมูลบางค่าผิดปกติค่าเฉลี่ยก็จะผิดปกติไปด้วย

2. ในกรณีที่อันตรภาคชั้นแต่ละชั้นเป็นชั้นเปิด ไม่สามารถหามัชฌิมเลขคณิตได้

ความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย (Standard error of the mean)

เป็นการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย มีสมการว่า

ค่า SEM เป็นค่าที่บ่งบอกถึงความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากร ถ้า SEM มีค่าน้อย การประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากรจะมีโอกาสถูกต้องมากขึ้น ดังนั้นค่าเฉลี่ยของประชากรจะมีค่าอยู่ระหว่าง - SEM จนถึง + SEM

ค่า SEM นี้จะมีค่าสวนทางกับจำนวนของกลุ่มตัวอย่าง ถ้า n มีจำนวนมาก ค่า SEM จะมีค่าลดน้อยลง ดังนั้นจำนวนกลุ่มตัวอย่างยิ่งมาก การประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากรยิ่งมีโอกาสถูกต้องมากขึ้น

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. เมษายน ๒๕๔๔

http://www.watpon.com/Elearning/stat8.htm

 

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

            การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเป็นการคำนวณหาค่าเฉลี่ยหรือค่ากึ่งกลางของข้อมูล โดยปกติจะใช้ฐานนิยม (Mode) มัธยฐาน (Median) และ มัชฌิมเลขคณิต (Arithmetic Mean) แต่มีการแจกแจงความถี่บางอย่างซึ่งมีอยู่น้อยมากที่ใช้มัชฌิมเรขาคณิต (Geometric Mean) และมัชฌิมฮาร์โมนิก (Harmonic Mean) แต่การหาตำแหน่งกึ่งกลางที่เป็นที่นิยมใช้กันอย่างกว้างขวางที่สุดก็คือ มัชฌิมเลขคณิต ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยที่ใช้ได้กับข้อมูลที่อยู่มาตรวัดระดับช่วงและอัตราส่วน นอกจากนี้ยังมี Trimmed Means เป็นสถิติปรับแก้ค่ามัชฌิมเลขคณิตกรณีที่มีข้อมูลสุดโต่ง (Extreme Value) ส่วนฐานนิยมและมัธยฐานนั้นบางครั้งใช้กับข้อมูลที่อยู่ในมาตราวัดระดับนามบัญญัติและจัดอันดับ แต่ก็สามารถใช้ได้กับระดับช่วงและอัตราส่วน ส่วนมัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมฮาร์โมนิค จะใช้เฉพาะข้อมูลที่มีคุณลักษณะพิเศษบางอย่างเท่านั้น

การคำนวณหาค่าเฉลี่ยหรือค่ากึ่งกลางของข้อมูลนั้นจะนำเสนอวิธีการดังนี้

1. มัชฌิมเลขคณิต

2. Trimmed Means

3. มัธยฐาน

4. ฐานนิยม

5. มัชฌิมเรขาคณิต

6. มัชฌิมฮาร์โมนิค

เปรียบเทียบมัชฌิมเลขคณิต, มัธยฐานและฐานนิยม

                มัชฌิมเลขคณิตเป็นการหาค่าเฉลี่ยที่ใช้กับตัวแปรระดับช่วงขึ้นไป โดยจะต้องนำข้อมูลทั้งหมดมาใช้ในการคำนวณ ค่ามัธยฐานเป็นสถิติในการจัดอันดับข้อมูล การคำนวณอยู่บนพื้นฐานของข้อมูลที่อยู่ในมาตราจัดอันดับ ถ้าค่าที่ได้จากการวัดถูกเรียงจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปหาน้อยแล้ว ค่ามัธยฐานคือค่าที่อยู่ตรงกลาง ซึ่งในการคำนวณไม่ต้องใช้ข้อมูลทั้งหมด แต่เป็นการละเลยค่าที่อยู่เหนือและต่ำกว่ามัธยฐาน เช่นข้อมูล 2 ชุดมีค่า 5, 7, 20, 24, 25 และ 10, 15, 20, 52, 63 มีมัธยฐานเหมือนกันคือ 20 แต่ค่าเฉลี่ยตัวอื่นแตกต่างกัน สำหรับฐานนิยมเป็นค่าหรือชั้นที่มีความถี่สูงที่สุดเป็นสถิติระดับนามบัญญัติ การคำนวณไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าต่าง ๆ หรือการจัดอันดับแต่ดูที่ความถี่

                 การเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย มัธยฐานและฐานนิยม สามารถทำได้โดยการคำนวณทั้ง 3 วิธีกับข้อมูลที่มีการแจกแจงถี่ที่เหมือนกัน ถ้านำการแจกแจงความถี่มานำเสนอด้วยกราฟ มัชฌิมเลขคณิตก็คือจุดบนแกนนอนที่อยู่ตรงกึ่งกลางของแกน ถ้าจุดตัดบนการแจกแจงทำให้เกิดความสมดุล จุดนั้นก็คือค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐานคือจุดบนแกนนอน ที่แบ่งพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดออกเป็น 2 ส่วนเท่ากัน พื้นที่ครึ่งหนึ่งจะอยู่ทางซ้ายอีกครึ่งหนึ่งจะอยู่ทางขวา ฐานนิยมคือจุดบนแกนนอนที่อยู่ตรงกับจุดที่สูงที่สุดของกราฟ

                 ถ้าการแจกแจงความถี่เป็นแบบสมมาตร จุดมัชฌิมเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมจะอยู่ที่จุดเดียวกัน ถ้าการแจกแจงเป็นแบบเบ้ จุดทั้ง 3 จุดจะไม่ใช่จุดเดียวกัน ดังรูปภาพ 5 แสดงค่ามัชฌิมเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม สำหรับการแจกแจงความถี่แบบเบ้บวก เราจะพบว่าค่ามัชฌิมเลขคณิตจะมากกว่ามัธยฐานและมากกว่าฐานนิยม ถ้าการแจกแจงเป็นเบ้ลบ ค่าที่ได้จะตรงกันข้าม

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.watpon.com/Elearning/stat7.htm

อนุกรมเลขคณิต

         ความหมายของอนุกรมเลขคณิต
กำหนด          a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d                         เป็นลำดับเลขคณิต
                        จะได้   a₁  +   (a₁ + d)  +  (a₁ + 2d)   +  …  +   (a₁ + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต
                        ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
                         d   เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n
ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต 

1.    1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99            เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า 1,   3,   5,   …,   99                                เป็น ลำดับเลขคณิต 

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

2.           25  +  20  + 15  +  10  +  …        เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า 25,   20,   15,  10,   …           เป็น ลำดับเลขคณิต 

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5

3.           7   +  14  +  21  +  28  +  …                       เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า  7,   14,   21,  28,   …            เป็น ลำดับเลขคณิต 

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  7

        วิธีหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง 100 ถึง 1000 และหารด้วย  13  ลงตัว  คือ  104 , 117 , ... ,  988

             วิธีทำ  จะพบว่า จำนวนดังกล่าว เมื่อนำมาเรียงกันจะเป็นลำดับเลขคณิตที่มี a =   104  , d = 13 และ a  =  988

จากสูตร  a   =   a   + (n-1)d   

              998  =  104   + (n-1)13

            n-1    =   68

              n     =   69

ดังนั้น   จำนวนที่อยู่ระหว่าง100ถึง1000 และหารด้วย 13  ลงตัว  มีจำนวน 69

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content2-1-1.htm