ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยพิจารณาจากครึ่งหนึ่งของระยะจากควอไทล์ที่ 3 (Q₃) ถึง ควอไทล์ที่ 1 (Q₁) หรือ ครึ่งหนึ่งของความแตกต่างระหว่างควอไทล์ที่ 3 (Q₃) และควอไทล์ที่ 1 (Q₁) ของคะแนนข้อมูลชุดหนึ่งๆ เป็นการจัดการกระจายเพื่อวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยมัธยฐาน
โดยใช้สูตร Q.D =
เมื่อ Q.D คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
Q₃ คือ ควอไทล์ที่ 3
Q₁ คือ ควอไทล์ที่ 1ตัวอย่างที่ 14 จากข้อมูลที่ให้จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์

ช่วงคะแนน	ความถี่ (f)	ความถี่สะสม (Cf)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 - 39	3 4 10 15 14 10 4	3 7 17 - Q3 32 46 - Q1 56 60
	N = 60

วิธีทำ     1. หาตำแหน่ง Q₁ และ Q₃สูตร Q_x = L₁ + I
Q_x คือ ค่าควอไทล์ที่ต้องการหา
L₁ คือ ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นคะแนนที่ควอไทล์อยู่
i คือ อัตรภาค
N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
X คือ ตำแหน่งที่ของควอไทล์
F คือ ความถี่สะสมของชั้นก่อนถึงชั้นที่ควอไทล์อยู่
f คือ ความถี่ของชั้นที่ควอไทล์อยู่ค่าของคะแนนในตำแหน่ง Q_x =
Q₁ ของคะแนนชุดนี้ตรงกับข้อมูลตัวนี้ = 15
Q₃ ของคะแนนชุดนี้ตรงกับข้อมูลตัวนี้ = 45    2. หาค่า Q₁ และ Q₃
Q₁ คือ ข้อมูลตัวที่ 15 ตกอยู่ในชั้นคะแนน 15 – 19 (i = 5)Q₁ = 14.5 + 5 = 18.5
Q₃ คือ ข้อมูลตัวที่ 45 ตกอยู่ในชั้นคะแนน 25 - 29Q₃ = 24.5 + 5   = 29.14
    3. นำค่า Q₁ และ Q₃ แทนค่าQ.D =    =   = 5.32

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ คือ 5.32 อธิบายได้ว่าโดยเฉลี่ยคะแนนกระจายห่างจากคะแนนที่เป็น
มัธยฐานอยู่ 5.32
ข้อสังเกต

1. การวัดการกระจายโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ยังคงใช้คะแนนเพียง 2 ค่า คือ คะแนนในตำแหน่ง Q₁ และ Q₃ ทำให้การกระจายของข้อมูลที่วัดได้ไม่ละเอียดเท่าที่ควร
2. ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่มีบางค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลอื่นๆ ในชุดเดียวกัน

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : http://reg.ksu.ac.th/Teacher/kanlaya/3.7.html

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

               

                 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (อังกฤษ: standard deviation: s.d.) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก (σ) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน

            
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860 [1] เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่างๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่

ในการวัดการกระจายโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยนั้นมีปัญหาในเรื่องการใช้เครื่องหมายสัมบูรณ์ (Absolute Value) ซึ่งทำให้ค่าที่วัดได้ลดความเชื่อถือไป จึงมีการคิดวิธีวัดการกระจายโดยการยกกำลังสองของผลต่างระหว่างคะแนนกับมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นแล้วถอดกรณ์ที่ 2 ของส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสองเฉลี่ย เป็นวิธีการวัดการกระจายที่ เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้วัดการกระจายของข้อมูล เพื่อพิจารณาว่าคะแนนแต่ละตัวจะแตกต่างไปจากค่ากลางมากน้อยเพียงใด คำนวณโดยเอาคะแนน X แต่ละตัวลบด้วยมัชฌิมเลขคณิต() ของข้อมูลชุดนั้น ซึ่ง X – แต่ละตัวอาจมีค่าเป็นลบ (X < ) หรือบวก (X>) จึงต้องยกกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบนแต่ละตัวนั้นเพื่อให้เครื่องหมายหมดไป แล้วหาค่าเฉลี่ยของผลบวกของกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบน คือ ซึ่งจะได้รับค่าความแปรปรวน ถ้าถอดรากที่สองของค่าความ แปรปรวนจะได้ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าเฉลี่ยของผลรวมทั้งหมดของคะแนนเบี่ยงเบนยกกำลังสอง ใช้สัญลักษณ์ S² แทนความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างและ s ² แทนความแปรปรวนของประชากรซึ่งหาได้จากสูตร
                ความแปรปรวนประชากร s ² =
                ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง S² =
คือ มัชฌิมเลขคณิตกลุ่มตัวอย่าง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือ รากที่สองของความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร s ใช้สูตร    s =
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง S ใช้สูตร        S =

ซึ่งใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล เพื่อการวิจัย
ในที่นี้เราจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการวัดการกระจายซึ่งใช้กับจำนวนข้อมูลจำนวนไม่มากนักและนิยมใช้กันโดยทั่วไป ซึ่งคำนวณได้ดังนี้

X	( X-)	( X-)2
1 2 4 6 8 9	-4 -3 1 1 3 4	16 9 1 1 9 16
		= 52

                                S.D. = =   =    =
      ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 2.9                                    

คะแนน	f	x	fx	x -	(x - )2	f(x - )2
5 – 9 10 – 14 15 - 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39	3 6 7 8 10 12 14	7 12 17 22 27 32 37	21 72 119 176 270 384 148	-16.8 -11.8 -6.8 -1.8 3.2 8.2 13.2	282.24 139.24 46.24 3.24 10.24 67.24 172.24	846.72 835.44 323.68 25.92 102.4 806.88 696.96
N = 50

วิธีทำ             1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต =
        ข้อสังเกต1. เป็นการวัดการกระจายที่ให้ค่าลักษณะข้อมูลได้ละเอียดและดีที่สุดและเป็นการวัดการกระจายที่ใช้กันมากที่สุด
2.เมื่อเอาค่าคงที่ (C) บวก หรือ ลบคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง
3.เมื่อเอาค่าคงที่ (C) คูณคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

4.เมื่อเอาค่าคงที่ (C) หารคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

ขอขอบคุณข้อมูลจาก :  http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/3.9.html
                             และ :  wikipedia
S = Sx
= 2. หาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน                    สูตร S.D =
                                    =
                                    =
                                    =
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้ คือ 8.53

1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ (Grouped Data)

S.D. =

S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
f คือ ความถี่
X คือ จุดกึ่งกลางชั้น คือ มัชฌิมเลขคณิต
N คือ จำนวนข้อมูล

ตัวอย่างที่ 19 จากข้อมูลในตารางจงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล

1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data) สูตร S.D. =
   S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
   X₁ คือ ข้อมูล (i = 1,2,3…N) คือ มัชฌิมเลขคณิต
   N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
   ตัวอย่างที่ 17 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 1, 2, 4, 6, 8, 9วิธีทำ 1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต =
   = 5
2. หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สร้างตารางช่วยในการคำนวณ

 

มัชฌิมฮาร์โมนิค

มัชฌิมฮาร์มอร์นิก (เอชเอ็ม)

         คำศัพท์ภาษาอังกฤษ harmonic mean (H.M.)

         คำอธิบาย ค่ากลางของข้อมูลชุดหนึ่งที่ได้จากการหารจำนวนข้อมูลทั้งหมดด้วยผลบวกของส่วนกลับของข้อมูลชุดนั้น  ใช้อักษรย่อ H.M.

 

มัชฌิมฮาร์โมนิคมักพบใช้เสมอ ๆ ในการคำนวณกลุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยในกรณีที่กลุ่มตัวอย่างแต่ละกลุ่มมีจำนวนไม่เท่ากัน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณหาความเร็วเฉลี่ย เมื่อระยะทางในการเปลี่ยนความเร็วมีช่วงเท่า ๆ กัน

ถ้า X₁, X₂, X₃, ... , X_N เป็นตัวเลขชุดหนึ่งที่มี N จำนวนแล้ว สูตรในการคำนวณหามัชฌิมฮาร์โมนิคของข้อมูลชุดนี้คือ

มีกลุ่มตัวอย่าง 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 52 คน กลุ่มที่ 2 มี 60 คน และกลุ่มที่ 3 มี 48 คน คำนวณหาจำนวนคนในกลุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยได้ดังนี้

จำนวนคนในกลุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยคือ 53 คน

สูตรที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic mean)

         ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่         

 ขอขอบคุณข้อมูลจาก :  http://www.watpon.com/Elearning/stat14.htm

         ข้อมูลที่แจกแจงความถี่