มัชฌิมเลขคณิต ( Arithmetic Mean )

              

หมายถึง ผลรวมของข้อมูลที่ได้จากการวัดหารด้วยจำนวนข้อมูลที่ได้จากการวัด สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัดคือ 7, 13, 22, 9, 11, 4 ผลรวมของข้อมูลชุดนี้คือ 66 ค่าเฉลี่ยจึงมีค่าเท่ากับ 66 หาร 6 เท่ากับ 11

ในกรณีทั่วไป ถ้าข้อมูลที่ได้จากการวัด N จำนวนถูกนำเสนอโดยใช้สัญลักษณ์ X₁, X₂, ..., X_N และการหาค่าเฉลี่ยสามารถเขียนได้เป็นสูตรดังนี้

สัญลักษณ์ อ่านว่า เอ็กซ์บาร์ ใช้แทนค่าเฉลี่ยของข้อมูล อักษรกรีซ อ่านว่า ซิกม่า, แทนผลรวมของข้อมูลที่ได้จากการวัด N จำนวน ผลรวมจาก i = 1 ถึง i = N รูปแบบง่าย ๆ ของค่าเฉลี่ยสามารถเขียนได้ดังนี้

การคำนวณค่าเฉลี่ยจากการแจกแจงความถี่

สมมติค่าของ X ในแต่ละค่ามีค่าซ้ำกัน สามารถหาค่าเฉลี่ยได้โดยการแจกแจงความถี่ จากนั้น คูณค่า X แต่ละค่ากับความถี่ แล้วนำมาบวกกันและหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัดคือ 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18 โอกาสในการเกิด 11 มี 2 ครั้ง โอกาสในการเกิด 12 มี 3 ครั้ง ฯ จากข้อมูลสามารถนำมาเขียนเป็นตารางได้ดังนี้

ตาราง 4 ตารางแจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

ในการทำงานทางสถิติบางครั้งจำเป็นต้องใช้ค่าความแตกต่างระหว่างคะแนน Xi กับค่าเฉลี่ยความแตกต่างที่เกิดขึ้นถูกเรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย ดังนี้

ใชัสัญลักษณ์ x_i แทนส่วนเบี่ยงเบน

คะแนนที่ได้แทนด้วย X บางครั้งเรียกว่าคะแนนดิบ คะแนนที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยถูกแทนด้วย x เรียกว่าคะแนนเบี่ยงเบน คะแนนดิบที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย จะมีคะแนนเบี่ยงเบนเป็น 0

ในกรณีข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน เช่นคะแนนที่เด็กชายฉัตรชัยได้รับจากการสอบด้วยแบบทดสอบ 4 ฉบับซึ่งมีความสำคัญไม่เท่ากัน ปรากฏดังตาราง

ตาราง 6 คะแนนแบบทดสอบ 4 ฉบับของเด็กชายฉัตรชัย

 

จะเห็นว่าแบบทดสอบแต่ละฉบับมีน้ำหนักความสำคัญไม่เท่ากัน ในสูตร นั้นใช้สำหรับข้อมูลที่แต่ละค่ามีความสำคัญเท่ากัน แต่ในที่นี้ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากันจึงประยุกต์สูตรมาเป็นสูตร

การคำนวณหาคะแนนเฉลี่ยของเด็กชายฉัตรชัยได้ดังนี้

คะแนนเฉลี่ยของเด็กชายฉัตรชัยคือ 79.49

จากตารางแสดงราคาของก๊าซโซลีน

ตาราง 7 ราคาของก๊าซโซลีน 

ราคาเฉลี่ยต่อแกลอนของก๊าซโซลีนเป็นเท่าใด วิธีการคำนวณแสดงได้ดังนี้

ราคาของก๊าซโซลีนเฉลี่ยต่อแกลอนคือ 1.48

คุณสมบัติบางประการของมัชฌิมเลขคณิต

มัชฌิมเลขคณิตมีคุณสมบัติบางประการดังนี้

ประการแรก คุณสมบัติพื้นฐานก็คือ ผลบวกของความเบี่ยงเบนของคะแนนดิบกับคะแนนเฉลี่ยมีค่าเป็น 0

ค่ามัชฌิมเลขคณิตของคะแนน 7, 13, 22, 9, 11 และ 4 คือ 11 ส่วนเบี่ยงเบนจากคะแนนเฉลี่ยคือ -4, 2, 11, -2, 0 และ -7 ผลบวกของคะแนนเบี่ยงเบนคือ 0 ผลทั้งหมดเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้

ประการสอง ผลรวมของกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบนจะมีค่าน้อยที่สุด

ความเบี่ยงเบนของค่าที่ได้จากการวัด 7, 13, 22, 9, 11, 4 กับค่าเฉลี่ย 11 คือ -4, 2, 11, -2, 0, -7 ค่ากำลังสองของความเบี่ยงเบนจะได้ 16, 4, 121, 4, 0, 49 ผลบวกของกำลังสองเท่ากับ 197 ถ้าหากเราใช้ค่าเฉลี่ยตัวอื่น ๆ ผลบวกของกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าการวัดกับค่ากึ่งกลางใด ๆ จะได้ค่าสูงกว่าผลรวมของกำลังสองความเบี่ยงเบนของค่าการวัดกับมัชฌิมเลขคณิต สมมติให้ค่ากึ่งกลางของข้อมูลชุดนี้เป็น 13 ความเบี่ยงเบนจะได้ -6, 0, 9, 4, 2, -9 ยกกำลังสองได้ 36, 0, 81, 16, 4, 81 รวมผลทั้งหมดเท่ากับ 218 ซึ่งมากกว่าค่าที่ได้จากการใช้ค่าเฉลี่ย

ข้อดีข้อเสียของมัชฌิมเลขคณิต

ข้อดี

1. คำนวณได้ง่าย

2. ข้อมูลทุกตัวถูกนำมาใช้ในการคำนวณ

3. สามารถนำค่าเฉลี่ยที่ได้มาใช้ในการคำนวณอื่น ๆ

ข้อเสีย

1. เพราะข้อมูลทุกค่าถูกนำมาใช้ในการคำนวณ ถ้ามีข้อมูลบางค่าผิดปกติค่าเฉลี่ยก็จะผิดปกติไปด้วย

2. ในกรณีที่อันตรภาคชั้นแต่ละชั้นเป็นชั้นเปิด ไม่สามารถหามัชฌิมเลขคณิตได้

ความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย (Standard error of the mean)

เป็นการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย มีสมการว่า

ค่า SEM เป็นค่าที่บ่งบอกถึงความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากร ถ้า SEM มีค่าน้อย การประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากรจะมีโอกาสถูกต้องมากขึ้น ดังนั้นค่าเฉลี่ยของประชากรจะมีค่าอยู่ระหว่าง - SEM จนถึง + SEM

ค่า SEM นี้จะมีค่าสวนทางกับจำนวนของกลุ่มตัวอย่าง ถ้า n มีจำนวนมาก ค่า SEM จะมีค่าลดน้อยลง ดังนั้นจำนวนกลุ่มตัวอย่างยิ่งมาก การประมาณค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มตัวอย่างไปยังค่าเฉลี่ยของประชากรยิ่งมีโอกาสถูกต้องมากขึ้น

ขอขอบคุณข้อมูลจาก : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. เมษายน ๒๕๔๔

http://www.watpon.com/Elearning/stat8.htm